AL PRIMER CUADRANTE
Introducción
Un ángulo puede hallarse situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de que consta la circunferencia, dependiendo de su posición los valores de sus correspondientes líneas trigonométricas.
Pues bien, cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, en el tercero o en el cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro ángulo del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos, esto es, de los mismos valores salvo posiblemente el signo.
Las relaciones entre las líneas trigonoméricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existian tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.
No obstante, el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180-A".
La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.
Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen en común la hipótenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180-A)ON
En consecuencia
sen (180-A) = segmento (180-A)N = segmento AM = sen A
cos(180-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A
y haciendo el cociente de seno entre coseno:
tg (180-A) = sen (180-A)/cos(180-A) = sen A / - cos A = - tg A
En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son:
sen (180-A) = + sen A
cos(180-A) = - cos A
tg (180-A) = - tg A
EJERCICIOS
*Dado el ángulo 127º réducirlo al primer cuadrante
SOLUCIÓN:
El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es 180º - 127º = 53º, tenemos entonces
sen 127º = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tg 127º = - tg 53º
*Dados los ángulos 135º, 133.45º, 109,5º réducirlos al primer cuadrante
*Sabiendo que el sen A = 0,5 obtener los valores posibles para A
SOLUCIÓN:
Al ser el seno positivo, A puede ser del primer o del segundo cuadrante.
sen A = 0,5 entonces A = arcsen 0,5 = 30º
Las soluciones son A = 30º y su suplementario A = 150º
* Sabiendo que el sen A = 0,85 obtener los valores posibles para A
* Sabiendo que el sen A = 0,12 obtener los valores posibles para A
El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es 180º - 127º = 53º, tenemos entonces
sen 127º = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tg 127º = - tg 53º
*Dados los ángulos 135º, 133.45º, 109,5º réducirlos al primer cuadrante
*Sabiendo que el sen A = 0,5 obtener los valores posibles para A
SOLUCIÓN:
Al ser el seno positivo, A puede ser del primer o del segundo cuadrante.
sen A = 0,5 entonces A = arcsen 0,5 = 30º
Las soluciones son A = 30º y su suplementario A = 150º
* Sabiendo que el sen A = 0,85 obtener los valores posibles para A
* Sabiendo que el sen A = 0,12 obtener los valores posibles para A
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